来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例):
  首先是预处理,用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列,f表示从第i个数起连续2^j个数 中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。 f[1,2]=5,f[1,3]=8,f[2,0]=2,f[2,1]=4……从这里可以看出f其实就等于a。这样,Dp的状态、初值都已经有了,剩下的 就是状态转移方程。我们把f平均分成两段(因为f一定是偶数个数字),从i到i+2^(j-1)-1为一段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段 (长度都为2^(j-1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F=max(F,F).
  接下来是得出最值,也许你想不到计算出f有什么用处,一般毛想想计算max还是要 O(logn),甚至O(n)。但有一个很好的办法,做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值,就要把它分成[2,5]和 [5,8]两个区间,因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况,就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n 的区间(保证有f对应)。直接给出表达式:
  k:=ln(l(r-l+1)/ln(2));
  ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);
  这样就计算了从i开始,长度为2^t次的区间和从r-2^i+1开始长度为2^t的区间的最大值(表达式比较烦琐,细节问题如加1减1需要仔细考虑

arrow
arrow
    全站熱搜

    robertanders 發表在 痞客邦 留言(1) 人氣()